Logaritma

 

A. DEFINISI DAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA
1. Bentuk dan Hubungannya dengan Eksponen
^aLog b = c → a^c = b
Dengan
a = bilangan pokok, a > 0 dan a ≠ 1
b = numerus, b > 0
2. Sifat-sifat Logaritma
a. ^pLog (a.b) = ^pLog a + ^pLogb
b. ^pLog (a/b) = ^pLog a – ^pLog b
c. ^pLog aⁿ = n. ^pLog a
d. p^m log aⁿ = n/m . ^plog a
e. p^{log a} = a
f. ^pLog a . ^aLog b = ^pLog b
g. ^aLog b = ^pLog b/^pLog a

B. PERSAMAAN LOGARITMA
Pada dasarnya persamaan logaritma memiliki dua bentuk :
1. Bentuk pertama, menggunakan sifat :
^aLog f(x) = ^aLog g(x)
• f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0
• g(x) dapat berupa konstanta
2. Bentuk persamaan kuadrat :
A {^alog f(x)}²+ B{^alog f(x)} + C = 0
Penyelesaian menggunakan sifat-sifat persamaan kuadrat dan logaritma.
Beberapa aturan yang berlaku dalam menyelesaikan persamaan logaritma adalah :
a. ^alog f(x) = b, maka f(x) = a^a, dengan syarat f(x) > 0
b. ^alog f(x) = ^alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
c. ^alog f(x) = ^blog f(x), maka f(x) = 1
d. ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x). Jika f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0 dan f(x) ≠ 1, maka g(x) = h(x)

C. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Pertidaksamaan logaritma diantaranya memiliki bentuk seperti
a. Untuk a > 1 berlaku : ^alog f(x) > ^alog g(x) → f(x) > g(x)  (tanda tetap)
b. Untuk 0 < a < 1  berlaku : ^alog f(x) > ^alog g(x) → f(x) < g(x) (tanda berubah)
Tanda pertidaksamaan dapat berupa <, >, ≤, atau ≥

CONTOH Soal Logaritma:
1. UNAS 2009
Nilai x yang memenuhi persamaan ²log(2x – 3) – ⁴log(x . 3/2) = 1 adalah …

1. 3/2                                 d. 2/3
2. 2/5                                 e. 4/3
3. 5/2

Penyelesaian:
²log(2x – 3) – ⁴log(x – 3/2) = 1
²log(2x – 3) – ½ ²log(x – 3/2) = 1
²log(2x – 3) – ½ (²log(2x – 3) – ²log 2) = 1
Misal ²log(2x – 3) = p
Maka p – ½(p – 1) = 1
1/2p = 1 – ½ = ½
P = 1
Maka ²log(2x – 3) = 1
(2x – 3) = 2
2x = 5
X = 5/2
2. UNAS 2008
^alog 1/b . ^blog 1/c² . ^clog 1/a³ = …

1. -6                                    d. a²c/b
2. 6                                      e. -1/6
3. b/a².c

Penyelesaian:
^alog 1/b . ^blog 1/c² . ^clog 1/a³ =…
= (^alog 1 – ^alog b) . (^blog 1 – ^blog c²) ^clog 1 – ^clog a³)
= (-^alog b) . (-^blog c2) . (-^clog a³)
= (-^alog b) . (-2^blog c) (-3^clog a)
= -6 (log b/log a) . (log c/log b) . (log a/log c)
= -6 . 1 = -6
3. UNAS 2007
Jika persamaan log x² – 2 log x + 15 = 0 mempunyai akar – akar x₁ dan x₂ maka harga x₁ . x₂ = …

1. 10                                   d. 104
2. 102                                 e. 105
3. 103

Penyelesaian:
Misal log x = p
Maka :
Log²x – 2log x + 15 = 0
Menjadi:
p² – 2p + 15 = 0
(p – 5) (p + 3) = 0
p  – 5 = 0 atau p + 3 = 0
p = 5 atau p = -3
Sehingga:
Log x = 5 maka x₁ = 10⁵
Log x = -3 maka x₂ = 10^-3
Jadi, x₁ . x₂ = 10⁵ . 10^-3 = 10²
4. SNMPTN 2008
f(x) = ² log (x + 5) + ²log (3 – x) nilai maksimumnya adalah …

1. 4                                      d. 15
2. 8                                      e. 16
3. 12

Penyelesaian:
f(x) = ² log (x + 5) + ²log (3 – x)
f(x) = ²log (x + 5) (3 – x)
f(x) = ²log (-x² – 2x + 15)
misal p = (-x² – 2x + 15)
f maksimum jika p maksimum
syarat p’ = 0 maka:
-2x – 2 = 0
x = -1
f mak = ²log(-(-1)² – 2 . (-1) + 15)
= ²log 16
= 4
5. UNAS 2008
Jika f(x) = ²log x, maka f(2/x) + f(x) = …

1. 0                                      d. 2log (2 + x2/x)
2. 2log(2/x)                      e. 2log(2/x)2 logx
3. 1

Penyelesaian:
f(2/x) + f(x) = ²log (2/x) + ²log x
= ²log 2 – ²log x + ²log x
= ²log 2
= 1